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L I C H T   M E S S E N   (Fortsetzung)

6. GEBRAUCH DES "ABSTANDSQUADRAT"-GESETZES (Fortsetzung)


6.1 Punktlichtquelle und Entfernung
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Schlagwoerter:
FOTOMETRISCHES ENTFERNUNGSGESETZ | STRAHLTAILLE | ANISOTROPE QUELLE | GROESSENGRENZE 'PUNKT'-LICHTQUELLE



Ableitung 'FOTOMETRISCHES ENTFERNUNGSGESETZ':

Punktlichtquellen sind schon in diesem Aufsatz benutzt worden; siehe
Bild 4.2.3-a in Abschn. 4.2.3,
Bild 5.2.2   in Abschn. 5.2.2,
Bild 5.3.1-g in Abschn. 5.3.1.

Das letzte Bild hat sogar einen gewissen Bezug zur wirklichen Welt: eine "100-Watt-Gluehlampe" wird als Punktlichtquelle behandelt!

Sie moechten sicher wissen, was eine Punktlichtquelle wirklich ist. Jetzt und hier will ich aber nur gestehen, dass es eine kleine Lichtquelle ist. Details am Ende dieses Abschnitts!

Zuerst sehen wir nochmal ein Bild an, das Sie schon als "Bild 5.2.2" kennengelernt haben:

Bild 6.1-a: isotrope Punktlichtquelle (20 kByte)

Aller Lichtstrom  (Phi) , der von einer Lichtquelle ausgeht, trifft die Innenflaeche einer (gedachten) Kugel. Wenn das Licht isotrop abgestrahlt wird, dann ist es gleichmaessig verteilt ueber die Flaeche  A  der Kugel mit Radius  r . Dann ruft das Licht also die Beleuchtungsstaerke  E  hervor:
        E = (Phi) / A
          = (Phi) / [4 * (pi) * r^2]

Weil wir den Einfluss des Abstandes  r  auf die Beleuchtungsstaerke  E  sehen wollen, schreiben wir besser:
     E(r) = (1/r^2) * (Phi) / [4 * (pi)]
... und deshalb wird das manchmal "Abstandsquadratgesetz" genannt.

Ueblicherweise schreibt man den Kosinus-Faktor fuer die moeglicherweise gekippte Position der lichtempfangenden Flaeche (1) hinzu und erhaelt:
'FOTOMETRISCHES ENTFERNUNGSGESETZ':
     E(r) = (1/r^2) * (Phi) * cos[(epsilon)2] / [4 * (pi)]

Wobei "(epsilon)2" definiert ist in Bild 4.3.3-b in Abschn. 4.3.3 .


Jetzt gehen wir einen ersten Schritt in Richtung auf die wirkliche Welt:


a) Fertigwerden mit anisotropen Quellen:

ANISOTROPE QUELLEn sind haeufig. Denken Sie an LEDs, Leuchtstoffroehren, Reflektorlampen aller Art ... Wie koennen wir hier unser Gesetz nutzen, obwohl doch das Licht nicht gleichmaessig ueber die Innenflaeche der umschriebenen Kugel verteilt ist?

Erinnern wir uns einfach daran, dass Lichtstrahlen (in den Grenzen unseres Zusammenhangs) gerade Linien sind und immer gerade bleiben.
Wenn also die Empfaenger-Apertur homogen gefuellt ist in einem Abstand  r1 , dann ist sie auch homogen gefuellt im Abstand  r2 > r1 , egal, wie gross  r2  werden mag ... natuerlich in gleichbleibender Winkelposition zur Lichtquelle.
Die Empfaenger-Apertur ist ein Teil der Kugelflaeche, die wir oben betrachteten. Und, egal, was der Rest der Kugel tut: Dieser Teil der Kugelflaeche wird mit dem Quadrat des Radius' genauso gestreckt, wie die ganze Kugelflaeche.
Vorsicht allerdings bei STRAHLTAILLEn: Fokussierte Strahlbuendel haben oft einen Punkt geringsten Querschnitts. Die oben genannten Abstaende  r2  und  r1  muessen immer von diesem Punkt (der STRAHLTAILLE) aus gemessen werden.


Kochbuchartig zusammengefasst:

Empfaenger-Apertur klein genug waehlen, dass sie homogen (ueber-)fuellt wird;
im selben Winkel relativ zur Quelle bleiben;
falls es eine STRAHLTAILLE gibt, alle Abstandsmessungen von der Taille her machen;
nun kann man den Abstand  r  vergroessern ohne ein 'FOTOMETRISCHES ENTFERNUNGSGESETZ' zu veletzen.



Zweiter Schritt in Richtung auf die wirkliche Welt:

b) GROESSENGRENZE 'PUNKT'-LICHTQUELLE

Ein mathematischer 'Punkt' hat keine Ausdehnung. Solche Lichtquellen gibt es nicht. Ist also das fotometrische Entfernungsgesetz sinnlos? - Nein. Die Lichtquelle muss nur klein genug sein. Die maximal zulaessige Groesse haengt von der Genauigkeit ab, die Sie erreichen wollen.
Meist wird die Genauigkeit Ihres Messgeraets die Grenzen setzen.
Uebliche Geraete sind nicht genauer als +/- 2%; sehr oft +/-10% oder noch schlechter.
Diesen prozentualen Fehler wollen wir  "+- e"  nennen.

Nun betrachten wir Bild 6.1-b mit den unterschiedlichen Entfernungen  rr  vom Quellenrand zum Empfaenger und  rc  vom Quellenzentrum zum Empfaenger.

Bild 6.1-b: Ausgedehnte Quelle und Abstand zum Empfaenger (11 kByte)

Wir waehlen die Entfernung  rc  vom Quellenzentrum zum Empfaenger und errechnen die Kugelflaeche  Ac :
   Ac = 4 * (pi) * rc^2

Dann errechnen wir aus  rr  die Kugelflaeche  Ar :
   Ar = 4 * (pi) * rr^2

Daraus bekommen wir den prozentualen Fehler  +-EA  der Kugelflaeche:
 +-EA = 100% * (Ar - Ac)   /   (Ar + Ac)
 +-EA = 100% * (rr^2 - rc^2) / (rr^2 + rc^2)

Und jetzt ist klar: Solange
  |+-EA| << |+-e|
gilt, kann man auf das fotometrische Entfernungsgesetz bauen.

Benutzt man dies Gesetz, dann hat man meist mit einem grossen Umfang von Entfernungen  r  zu tun. Um auf der sicheren Seite zu bleiben, sollte man die kleinste dieser Entfernungen fuer unseren Genauigkeitstest nehmen.

Zu viel Muehe fuer diesen kleinen Test? - Sie koennen auf die zwei Daumenregeln nach (1) ausweichen:

* Ist die Quelle eine Kreisscheibe mit Durchmesser  D  und ist sie ein Lambertstrahler (Bild 4.3.3-c in Abschn. 4.3.3), dann bleibt der Fehler unter  5% , wenn die Entfernung  r  mindestens  2*D  gross ist.
* Ist die Quelle ein System (wie Scheinwerfer oder Projektor), dann sollte die Entfernung  r  mindestens 10mal Quelldurchmesser  D  betragen.




Literatur
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Gegenstand benutzt in Quelle
"fotometrisches Entfernungsgesetz" Textreferenz (1) R.Baer, "BELEUCHTUNGSTECHNIK GRUNDLAGEN",
Verlag Technik Berlin, 1996, S. 30



Fortsetzung: 6.2 Linienlichtquelle und Entfernung

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Letzte Aenderung 25.3.2004 10:39